Question

设P是椭圆（x²/4）+y²=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1||PF2|的最大值为？最小值？

Answer 1

用均值不等式只能求最大值，不能求最小值
椭圆（x²/4）+y²=1
a²=4,a=2,c²=a²-b²=3,c=√3
根据椭圆定义，p在椭圆上，则
|pf1|+|pf2|=2a=4
根据均值不等式得
|pf1||pf2|≤[(|pf1|+|pf2|)/2]²=4
当且仅当|pf1|=|pf2|=2时，取等号
∴|pf1||pf2|的最大值为4
又|pf2|=4-|pf1|,
|pf1|∈[a-c,a+c],即|pf1|∈[2-√3,2+√3]
∴|pf1||pf2|=|pf1|(4-|pf1|)
=-|pf1|²+4|pf1|
=-(|pf1|-2)²+4
∴x=2-√3或x=2+√3时，
-(|pf1|-2)²+4取得最小值1
当|pf1|=2时
-(|pf1|-2)²+4取得最大值4
即|pf1||pf2|的最大值为4，最小值为1
用均值无法求最小值。