Question

在直角三角形ABC中∠ACB＝90° tan∠BAC＝½ 点D在边AC上还与A,C重合，连接BD，F为BD的中点，

(1)若过点D作DE⊥AB于E，连接CF,EF,CE如图 设CF＝kEF 则k＝1 过程
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转使D,E,B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示，求证：BE-DE＝2CF
(3)若BC＝6，点D在边AC的三等分点上。将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值

Answer 1

解：（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，
∴CF=1/2BD，EF=1/2BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．
（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
由题意，tan∠BAC=1/2
∴BC/AC=DE/AE=1/2
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴BC/AC=GB/AE=1/2
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，CF=1/2EG
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）第一种情况：当AD=1/3AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=1 /2且BC=6，
∴AC=12，AB=6根号5
∵M为AB中点，
∴CM=3根号5
∵AD=1/3AC，
∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM=1/2AD=2．
∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=2+3根号5

第二种情况：当AD=2/3AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
类似于第一种情况，可知CF的最大值为4+3根号5

综合第一种情况与第二种情况，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+3根号5

望采纳 谢谢~

Answer 2

（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，
∴CF=
1
2
BD，EF=
1
2
BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．

（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
由题意，tan∠BAC=
1
2
，
∴
BC
AC
=
DE
AE
=
1
2
．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
BC
AC
=
GB
AE
=
1
2

∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，CF=
1
2
EG，
∴BE-DE=EG=2CF；
（3）情况1：如图，当AD=
1
3
AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，

∵∠ACB=90°，tan∠BAC=
1
2
，且BC=6，
∴AC=12，AB=6
5
．
∵M为AB中点，
∴CM=3
5
，
∵AD=
1
3
AC，
∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM=
1
2
AD=2．
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=2+3
5
．
情况2：如图，当AD=
2
3
AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为4+3
5
．
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+3
5
．
不好意思，有些符号打不出。。