Question

高中数学数列的问题，求大神，急给分

在数列an中，a1=1/3，an+1=(n+1/3n)an
证明an/n为等比数列，并求出通项公式
求an前n项和和sn

Answer 1

（1）因为an+1=(n+1/3n)an
所以an+1/(n+1)=1/3(an/n)
所以【an+1/(n+1)】/(an/n)=1/3=q
所以{an/n}是首项为1/3,公比为1/3的等比数列
所以an/n=（1/3）^n
所以an=n*（1/3）^n
（2）Sn=1/3^1+2/3^2+....+n/3^n。。。。。。。。。。。（1）
所以1/3*Sn=1/3^2+2/3^3....+（n-1）/3^n+n/3^（n+1）.........(2)
(1)-(2)得：
2/3Sn=1/3+1/3^2+......+1/3^n-n/3^（n+1）=1/2-1/2*(1/3^n)-n/3^（n+1）
所以Sn=3/4-(3+2n)/(4*3^n)

Answer 2

将an+1=(n+1/3n)an变形得：an+1/n+1=1/3 *(an/n),符合等比数列定义后一项与前一项的比为定常数，故an/n为等比数列。通项公式an/n=1/3^n ，an=n/3^n
Sn=1/3+2/3²+...+n/3^n 1/3Sn=1/3²+2/3³+...+n/3^n+1 用错位相减法，整理得：
Sn=3/4-(2n+3)/(4*3^n)
望采纳~

Answer 3

两边同时除以N+1啊，左边an+1/（n+1）=3an/n。。等比啊

Answer 4

因为an+1=(n+1/3n)an两边都乘以n/n+1，得出 （an+1）/n+1 / (an/n) =1/3 得证an/n为等比数列
sn就按照等比数列求和公式即可

追问

能具体点么，过程写出来，谢谢了

追答

最后 一句话错了，是an/n

Answer 5

追问

求更清晰的图

追答

图已经清楚了，要不我给你重写？

Answer 6