Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF垂直AB交BD于点F,

在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF垂直AB交BD于点F,取FEGD中点G,连接EG,CG

Answer 1

解答：
解：
（1） EG=CG，EG⊥CG．
（2）EG=CG，EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
又∵BE=EF，∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG
∴MG=FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

Answer 2

1）EG=CG，且EG⊥CG．
证明：过GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点I，作GK⊥AD于点K．
则四边形GIDK是正方形，四边形AKGH是矩形，
∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HG，
∵AD∥GH∥EF，G是DF的中点，
∴HA=HE，
∴HE=GI，
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中，

HE＝GI
∠GHE＝∠CIG
HG＝IC
∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），
∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，
∴∠HGE+∠CGI=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG；

（2）成立．
证明：图2中，作GH⊥BC，
则EF∥GH∥CD，
又∵G是DF的中点，
∴EH=CH，
则GH是BC的中垂线，
∴GE=CG，
∵EF=EB，BC=CD
∴EF+CD=EC，
∵G是DF的中点，EH=CH，
则GH=1/2（EF+CD），
∴GH=1/2EC，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴EG=CG，且EG⊥CG；
图3中，延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（2）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG
∴MG=1/2FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴EF+EM=CM+DC，
即FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=1/2∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∵在△GFE和△GMC中，

FG＝MG
∠F＝∠GMC
EF＝CM
∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

Answer 3

解：（1）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
（2）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=1 2 FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG=1 2 ∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）

Answer 4

作GH⊥GD 则GH＝GD＝GF ∠GHC＝135º＝∠GFE
HC＝CD-HD＝AB-√2GD＝AB-DF/√2＝AB-EA＝BE＝EF
∴⊿GHC≌⊿GFE ﹙SAS﹚ GE＝GC
∵∠HGF＝90º ∴∠EGC＝∠ECF+∠FGC＝∠CGH+∠FDC＝∠FDH＝90º GE⊥GC

Answer 5

呵呵