容易证明,该
广义积分收敛,那么就可以用
无穷衫迹携级数展开
ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-……
ln(1-x)/x=-1-x/2-x^2/3-x^3/4-……=-∑[n从0到∞]
x^n/(n+1)
∫[0->州嫌1]
-∑[n从0到∞]
x^n/(n+1)=-∑[n从0到∞]x^(n+1)/(n+1)²
|
[0->1]
=-∑[n从0到∞]
1/(n+1)²
=-(1+1/2²+1/3²+1/4²+……)=-π²/6
而且这或伏是spence
function,原式=-li2(1)=-π²/6