求极限lim n趋向于无穷（1/n）*n次方根下(n+1)(n+2)⋯(n+n)
4/e。
记原式=P
P=[(n+1)(n+2)(n+3).(n+n)/n^n]^(1/n)
={[(n+1)/n][(n+2)/n][(n+3)/n].[(n+n)/n]}^(1/n)
=[(1+1/n)(1+2/n)(1+3/n).(1+n/n)]^(1/n)
取自然对数
lnP=(1/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+ln(1+3/n)+.+ln(1+n/n)]
设f(x)=ln(1+x)
则P=[f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)]/n
当n→∞时
应用分部积分法可求得
则当n→∞时,lnP=ln(4/e)，即P=4/e。
扩展资料：
极限的由来：
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
极限的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
7、利用两个重要极限公式求极限。
记原式=P，
P=[(n+1)(n+2)(n+3).......(n+n)/n^n]^(1/n)
={[(n+1)/n][(n+2)/n][(n+3)/n]........[(n+n)/n]}^(1/n)
=[(1+1/n)(1+2/n)(1+3/n)........(1+n/n)]^(1/n)
取自然对数，
lnP=(1/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+ln(1+3/n)+........+ln(1+n/n)]
设f(x)=ln(1+x)，
则P=[f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)]/n，
当n→∞时，
应用分部积分法可求得
则当n→∞时，lnP=ln(4/e)，即P=4/e.
