Question

关于数学函数的问题，函数f(x)=(x+a)/(x²+b)是定义在R上的奇函数,其值域为[-1/4,1/4]

函数f(x)=(x+a)/(x²+b)是定义在R上的奇函数,其值域为[-1/4,1/4],求a,b的值？
由于是奇函数则0处函数值为0，能求出a为0，然后b怎么求？请详细写一下过程，谢谢

Answer 1

f(x)=x/(x²+b) （分子分母同时除以x，x不等于0）
=1/(x+b/x)
∵值域为[-1/4,1/4]，∴b>0
所以，分母 x+b/x≥4，或者≤-4
所以b=4 （利用基本不等式，x+b/x≥2√b）

追问

为什么由值域为[-1/4,1/4]就能得出b>0呢？

追答

若b<0, (x+b/x)是定义域上的增函数，值域就是（-无穷，+无穷）了

Answer 2

由函数f(x)=(x+a)/(x²+b)是定义在R上的奇函数则f(x）=-f(-x）得a=0
值域为[-1/4,1/4],f(x）=1/（x+b/x) x不为零
当b<0时原函数为减函数无最小值
当b>0时：当x>0时 x+b/x大于等于2√b则f(x）=1/（x+b/x)小于等于1/2√b=1/4,b=4
当x<0时x+b/x小于等于-2√b则f(x）=1/（x+b/x)小于等于-1/2√b=-1/4，b=4
b=4