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解：（1）当m=3时，y=－x²＋6x。
令y=0得－x²＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。
当x=1时，y=5。∴B（1，5）。
∵抛物线y=－x²＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，
∴BC=4。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。
又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。
∴AH/CH=PB/BC。
∵抛物线y=－x²＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m－1）。
∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。
又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。
∴AH=1，CH=2m－1，
∴1/(2m-1)=(m-1)/2(m-1)，解得m= 3/2。
（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。
（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1，
（i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。
∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。
此时点E的坐标是（2，0）。
（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。
此时点E的坐标是（0，4）。
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，
（i）若点E在x轴上（如图3），
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=2/3。
此时点E的坐标是（4/3 ，0）。
（ii）若点E在y轴上（如图4），
过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），
当m=2/3时，点E的坐标是（4/3，0）。
