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解:(1)当m=3时,y=-x²+6x。
令y=0得-x²+6x=0,解得,x1=0,x2=6。∴A(6,0)。
当x=1时,y=5。∴B(1,5)。
∵抛物线y=-x²+6x的对称轴为直线x=3,且B,C关于对称轴对称,
∴BC=4。
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)
由已知得,∠ACP=∠BCH=90°,∴∠ACH=∠PCB。
又∵∠AHC=∠PBC=90°,∴△AGH∽△PCB。
∴AH/CH=PB/BC。
∵抛物线y=-x²+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>1,且B,C关于对称轴对称,
∴BC=2(m-1)。
∵B(1,2m-1),P(1,m),∴BP=m-1。
又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1),∴H(2m-1,0)。
∴AH=1,CH=2m-1,
∴1/(2m-1)=(m-1)/2(m-1),解得m= 3/2。
(3)存在。∵B,C不重合,∴m≠1。
(I)当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1,
(i)若点E在x轴上(如图1),
∵∠CPE=90°,∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,PC=EP。
∴△BPC≌△MEP,∴BC=PM,即2(m-1)=m,解得m=2。
此时点E的坐标是(2,0)。
(ii)若点E在y轴上(如图2),过点P作PN⊥y轴于点N,
易证△BPC≌△NPE,
∴BP=NP=OM=1,即m-1=1,解得,m=2。
此时点E的坐标是(0,4)。
(II)当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,
(i)若点E在x轴上(如图3),
易证△BPC≌△MEP,
∴BC=PM,即2(1-m)=m,解得,m=2/3。
此时点E的坐标是(4/3 ,0)。
(ii)若点E在y轴上(如图4),
过点P作PN⊥y轴于点N,易证△BPC≌△NPE,
∴BP=NP=OM=1,即1-m=1,∴m=0(舍去)。
综上所述,当m=2时,点E的坐标是(0,2)或(0,4),
当m=2/3时,点E的坐标是(4/3,0)。