如图,已知BD为角ABC的平分线,DE垂直BC于E,且AB+BC=2BE

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澄遐思宓桥
2020-02-27 · TA获得超过3.7万个赞
知道大有可为答主
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(1)证明:过D作DF⊥BA,垂足为F,
∵AB+BC=2BE,
∴AB=BE+BE-BC,
AB=BE+BE-BE-EC,
AB=BE-EC,
AB+EC=BE,
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在Rt△BFD和Rt△BED中
DB=DB
DF=DE

∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
又∵AB+EC=BE,
∴AF=EC,
在△AFD和△CED中
AF=EC
∠DFA=∠DEC=90°
DF=DE

∴△AFD≌△CED(SAS),
∴∠DCE=∠FAD,
∵∠BAD+∠FAD=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°;
(2)解:可以互换,结论仍然成立.理由如下:
过D作DF⊥BA,垂足为F,
∵∠BAD+∠FAD=180°,∠BAD+∠BCD=180°
∴∠DCE=∠FAD,
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在△AFD和△CED中
DF=DE
∠FAD=∠ECD
DFA=∠DEC=90°

∴△AFD≌△CED(AAS),
∴AF=EC,
在Rt△BFD和Rt△BED中
DB=DB
DF=DE

∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
AB=BE-AF=BE-EC=BE-(BC-BE)=BE-BC+BE=2BE-BC,
即:AB+BC=2BE.
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