Question

如图，已知BD为角ABC的平分线，DE垂直BC于E，且AB+BC=2BE

Answer 1

（1）证明：过D作DF⊥BA，垂足为F，
∵AB+BC=2BE，
∴AB=BE+BE-BC，
AB=BE+BE-BE-EC，
AB=BE-EC，
AB+EC=BE，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在Rt△BFD和Rt△BED中
DB＝DB
DF＝DE
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
又∵AB+EC=BE，
∴AF=EC，
在△AFD和△CED中
AF＝EC
∠DFA＝∠DEC＝90°
DF＝DE
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴∠DCE=∠FAD，
∵∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）解：可以互换，结论仍然成立．理由如下：
过D作DF⊥BA，垂足为F，
∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°
∴∠DCE=∠FAD，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在△AFD和△CED中
DF＝DE
∠FAD＝∠ECD
DFA＝∠DEC＝90°
，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF=EC，
在Rt△BFD和Rt△BED中
DB＝DB
DF＝DE
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
AB=BE-AF=BE-EC=BE-（BC-BE）=BE-BC+BE=2BE-BC，
即：AB+BC=2BE．