Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°．若AB=BC=

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°．若AB=BC=0.5AD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，求证：BE∥平面PCD．

Answer 1

（Ⅰ）证明:过点C作CF⊥AD,交AD于F
AD∥BC，∠ABC=90°,AB=BC,易知,四边形ABCF为正方形
AB=BC=1/2AD
AF=FD=AB=BC
∠CDF=∠DCF=45°又∠CAF=45°
∠ACD=180°-∠DCF-∠CAF=180°-45°-45°=90°
所以DC⊥AC
PAD⊥底面ABCD,DC⊥AC,由三垂线定理得
DC⊥PC,又因,DC⊥AC
所以CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）取PD中点G点,连接CG
EG为△APD中位线
EG ∥ =1/2AD
又因AD∥BC,且BC=1/2AD
EG ∥BC且EG =BC
四边形BCGE是平行四边形
BC ∈ 平面PCD
BE∥平面PCD．