Question

如图,圆D交y轴与A,B两点,交X轴与点C,已知点D的坐标为(0,1),过点C的直线y=-2根号2X-8与X轴交于点P

(1)试判断直线PC与圆D的位置关系，并说明理由。（2）若圆D以每秒2个单位长度的速度议沿Y轴向下方运动，请你通过计算几秒后，圆D又一次与直线CP相切，并求出此时切点的坐标。

Answer 1

（1）由条件得，P点坐标为（0,-8)，C点坐标为（-2√2，0），
OD=1，OC=2√2，OP=8，DP=9，圆半径DC=√(OC²+OD²)=3；
DC²+CP²=OD²+OC²+OC²+OP²=1+(2√2)²+(2√2)²+8²=81=9²=DP²，
∴DC⊥CP，即PC为圆D的切线。

（2）延长CD交圆于E，则E点为另一切点，E点坐标为（2√2，2），
过E点做平行于Y轴的直线X=2√2交CP延长线于F，则F的坐标为（2√2，-16），
∴当圆D沿Y轴向下移动再次与直线CP相切时走过了YE-YF=18个单位长度，即用时9秒，
切点即F，坐标为（2√2，-16）

Answer 2

已知，如图，D（0，1），⊙D交y轴于A、B两点，交x轴负半轴于C点，过C点的直线：y=-2x-4与y轴交于P．
（1）试猜想PC与⊙D的位置关系，并说明理由．
（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC=4S△CDO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）PC与⊙D的位置关系是相切．理由如下：
在y=-2x-4中，得C（-2，0），P（0，-4），
则CD2=4+1=5，CP2=4+16=20，PD2=（1+4）2=25，
则CD2+CP2=PD2，
∴∠DCP=90°，
∴PC与⊙D的位置关系是相切．

（2）∵S△CDO=1，
∴S△EOC=4S△CDO=4，
又OC=2，
∴点E到OC的距离是4，即点E的纵坐标是±4．
当y=4时，则x=4；当y=-4时，则x=0．
即E（-4，4）或（0，-4）．