Question

如图抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A(-1,0)B(1,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式
(2)过点B做BD平行于CA与抛物线交于点D，试判断△BCD的形状并证明：
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在点M，过M做MN垂直于x轴于点N，使A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明理由.
多谢了
最好

Answer 1

解：(1)y=-x²+1;
(2)∵A(-1,0) C(0,1) ∴AC: y=x+1;∵BD//CA ∴设 BD:y=x+b ∵B(1,0)∴BD: y=x-1;∵D在抛物线上∴设D（x1,y1）(x1≠1)∴ y1=x1-1,y1=-x1²+1 ∴D(-2,-3),向量BC=（-1,1）向量BD=（-3，-3）∴向量BC⊥向量BD，∴△CBD是直角三角形；
(3)假设这样的点M存在，设M(x2,y2)(x2>1,y2<0)
由（2）知：|BD|=3|BC| 所以|AN|=3|MN| 或|MN|=3|AN|
①若|AN|=3|MN|，则，x2+1=-3y2,y2=-x2² +1 ∴x2=4/3,y2=-7/9;
②若|MN|=3|AN| ，则,-y2=3(x2+1),y2=-x2² +1 ∴x2=4,y2=-15;
综上，存在这样的M其坐标为（4/3,-7/9）或（4,-15）；

Answer 2

解：(1)y=-x²+1;
(2)∵A(-1,0) C(0,1) ∴AC: y=x+1;∵BD//CA ∴设 BD:y=x+b ∵B(1,0)∴BD: y=x-1;∵D在抛物线上∴设D（x1,y1）(x1≠1)∴ y1=x1-1,y1=-x1²+1 ∴D(-2,-3),向量BC=（-1,1）向量BD=（-3，-3）∴向量BC⊥向量BD，∴△CBD是直角三角形；
(3)假设这样的点M存在，设M(x2,y2)(x2>1,y2<0)
由（2）知：|BD|=3|BC| 所以|AN|=3|MN| 或|MN|=3|AN|
①若|AN|=3|MN|，则，x2+1=-3y2,y2=-x2² +1 ∴x2=4/3,y2=-7/9;
②若|MN|=3|AN| ，则,-y2=3(x2+1),y2=-x2² +1 ∴x2=4,y2=-15;
综上，存在这样的M其坐标为（4/3,-7/9）或（4,-15）；