Question

正三棱锥的高为1，底面边长为2倍开根号6，其中有一个球和该三棱锥四个面都相切，求棱锥的全面积和球半径R

Answer 1

正棱锥，4个面均为正三角形
设底面边长为a=2√6，高为h=4，内切球半径为r
则底面积为S底=√3/4*a^2=√3/4*(2√6)^2=6√3
S全=4S底=4*6√3=24√3
顶点在底面的投影通过底面三角形的重心
底面的高为H=√3/2*a=√3/2*2√6=3√2
则侧棱在底面的投影长度为l=2/3*H=2√2
内切球与各面相切，由正棱锥的对称性及勾股定理，有
(h-r)^2=r^2+l^2
r=(h^2-I^2)/(2h)
=[4^2-(2√2)^2]/(2*4)
=8/8
=1
即内切球的半径为1
（依据底边长2√6计算，正棱锥高为4）