Question

求方阵A=（4，-2，2；2，0，2；-1，1，1） 的特征值和相应的特征向量。

Answer 1

解:
|a-λe|=(1-λ)[(-5-λ)(1-λ)+8]=(1-λ)(1+λ)(3+λ)
所以a的特征值为:
λ1=1,λ2=-1,λ3=-3.
对λ1=1,
(a-e)x=0
的基础解系为
(2,1,-5)'
所以a的属于特征值1的特征向量为
k1(2,1,-5)',
k1为任意非零常数.
对λ2=-1,
(a+e)x=0
的基础解系为
(0,1,-2)'
所以a的属于特征值-1的特征向量为
k2(0,1,-2)',
k2为任意非零常数.
对λ3=-3,
(a+3e)x=0
的基础解系为
(0,1,-1)'
所以a的属于特征值-3的特征向量为
k3(0,1,-1)',
k3为任意非零常数.
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Answer 2

令|A-λE|=0（E为单位阵）得
AX=X，X=(x1,x2,x3)^T（列向量），
即3x1-2x2+2x3=0;2x1-x2+2x3=0,-x1+x2=0
这个齐次方程的解为x1=x2=-2x3,所以特征向量可取(2,2,-1)^T
AX=2X，可得x1-x2+x3=0,那么所对应的线性无关向量可取
(1,1,0)^T,(1,0,-1)^T
故本题的关于特征值1的特征向量为(2,2,-1)^T；
关于特征值2的特征向量为(1,1,0)^T、(1,0,-1)^T