Question

f(x)在[-1,1]可导,在x=0二阶可导,f'(0）=0,f''（0）=4,求极限limx→0﹛f（x）-f[㏑﹙1+x﹚]﹜/x³

Answer 1

考虑到函数只有一阶可导，可先用中值定理
﹛f（x）-f[㏑﹙1+x﹚]﹜/x³
=f'(ξ)(x-ln(1+x))/x³
=f'(ξ)/ξ * ξ/x * (x-ln(1+x))/x²
其中ln(1+x)<ξ<x
所以ln(1+x)/x < ξ/x < 1
由夹逼定理得lim(x->0) ξ/x=1
由导数的定义得lim(x->0)f'(ξ)/ξ=lim(ξ->0)f'(ξ)/ξ=f''(0)=4
lim (x-ln(1+x))/x²=lim (x-(x-(1/2)x²+o(x²))) / x² = 1/2
所以原式=1*4*1/2=2

Answer 2

limx→0﹛f（x）-f[㏑﹙1+x﹚]﹜/x³
=limx→0﹛f′（ξ）（x-㏑﹙1+x﹚）﹜/x³

因为
limx→0{x-ln(1+x)}/x² = limx→0{1-1/(1+x)}/2x =1/2
limx→0f′(ξ)/x= limx→0(f′(ξ)-f(0))/(x-0)= f″(0)=4
所以，
原式=4×1/2=2