Question

已知函数f（x）=x^3-3ax-1在x=-1处取得极值。

求a的值，并求f（x）在区间[-2，3]上的值域。

Answer 1

f′（x）=3x^2-3a
所以
f′（-1）=3-3a=0 a=1
f′（x）=3x^2-3
当x<-1 f′（x）=3x^2-3 >0 增函数
当-1<x<1 f′（x）=3x^2-3 <0 减函数
当x>1 f′（x）=3x^2-3>0 增函数
所以x=-1处取得极大值
f（x）在区间[-2，3]上的值域[-6，17]

Answer 2

解：先求导，得f'(x)=3x^2-3a，
因为f(x)=x^3-3ax-1在x=-1处取得极值，则f'(-1)=0，所以3X(-1)^2-3a=0,即a=1。
故f(x)=x^3-3x-1,f'(x)=3(x+1)(x-1),易知f(x)在x=-1处取得极大值，x=1处取得极小值，
因为f(-2)=-3、f(-1)=1、f(1)=-3、f(3)=17，比较f(-2)、f(-1)、f(1)、f(3)的大小可得f(x)在[-2，3]上的最大值为17，最小值为-3。
所以f(x)在[-2，3]上的值域为[-3，17]

Answer 3

f'(x)=3x²-3a,
由条件，得
f'(-1)=3-3a=0
解得 a=1
所以 f'(x)=3x²-3
f(x)=x³-3x-1
令f'(x)>0，得 x²-1>0
解得 x>1或x<-1
从而 f(x)在[-2,-1]和[1,3]上是增函数，
同理，在[-1，1]上是减函数。
由于 f(-2)=-3，f(-1)=1，f(1)=-3，f(3)=17
从而 f(x)在[-2,3]上的值域为[-3,17]

Answer 4

f（x）=x^3-3ax-1
f‘（x）=3x^2-3a
在x=-1处取得极值
a=1
所以
f‘（x）=3x^2-3x
在x=-1和0处取得极值
f（-2）=-14
f（-1）=-5
f（0）=-1
f（3）=35
f（x）在区间[-2，3]上的值域为[-14，35]