Question

已知函数f(x)=（x^2+ax+b）/x 是奇函数,且满足

已知函数f(x)=（x^2+ax+b）/x 是奇函数,且满足f(1)=f(4),
(1)求实数a、b的值 （2）若f(m)=f(n),(m>0,n>0,m不等于n)，试证明函数f(x)在区间（0，根号（mn))单调递减，在区间（根号（mn)，正无穷大)单调递增。
（3）在（2）的条件下，若不等式f(x)<t对x属于（负无穷大，0）恒成立，试求出实数t的取值范围。（可用m,n表示t的取值范围区间）

Answer 1

（1）f(1)=f(4),求出ab，

（2）对f（X）求导数，大于0是递增，小于0递减
(3)第三题估计要用到韦达定理，一般这种题目都这样，只用f（x）的最小值小于T就好了

追问

利用必修1的范围求解，不用导数用单调性。

追答

奇函数f(-x)=-f(x)

f(1)=f(4)

解得a=0 b=4
（2）把m，n带入方程可以得到
n^2m+4，=nm^2+4m
各种化解可以得到
（nm-4）*（n-m）=0
可以得到
mn=4

Answer 2

解
(1)因为f(x)=(x^2+ax+b)/x=x+(b/x)+a是奇函数
所以 f(-x)=-f(x)
（-x)-(b/x)+a=-x-(b/x)-a
a=-a
所以 a=0
∴f(x)=(x^2+b)/x
又∵f(1)=f(4)
∴4(1+b)=16+b
b=4
∴a=0；b=4
f(x)=x+(4/x)

(2)由f(m)=f(n)得
m+(4/m)=n+(4/n)
m-n=(4/n)-(4/m)
m-n=4(m-n)/(mn)
(m-n)[1-4/(mn)]=0
因为m≠n, m-n≠0
所以 1-4/(mn)=0
即 mn=4
所以 根号mn=2
设x1、x2∈（0，正无穷）
则f(x2)-f(x1)
=x2+(4/x2)-x1-(4/x1)
=(x2-x1)+4[(1/x2)-(1/x1)]
=(x2-x1)+4[(x1-x2)/(x1x2)]
=(x2-x1)[1 -4/(x1x2)]
若 0<x1<x2<2，则
x2-x1>0，x1x2<4
所以 1-4/(x1x2)<0
f(x2)-f(x1)<0,
函数在（0，2）单调递递减；
若2<x1<x2，
则x1x2>4，1-4/(x1x2)>0
所以 f(x2)>f(x1)
函数在（2，正无穷）上单调递增。

（3）f(x)<t即
x+(4/x)<t
(x^2+4)/x<tx/x
(x^2-tx+4)/x<0
当x<0时，上式即x^2-tx+4>x
x^2-(t+1)x+4>0
（t+1)^2-16<0
-4<t+1<4
-5<t<3

Answer 3

1、奇函数经过原点所以f（0）=0，然后f（1）=f（4），可求出a，b
2、3题见楼上

Answer 4

a=0 b=4