Question

设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(a≥0)， ①如果a=1，求函数f(x)的单调递增

②若函数f(x)在区间(-1,e-1)上单调递增，求实数a的取值范围，③证明：当m＞n＞0时，(1+m)的n次方＜(1+n)的m次方求大婶。

Answer 1

①如果a=1，求函数f(x)的单调递增
f‘(x)=2-ln(x+1）>=0
则0<x+1<=e^2
x∈（-1，e^2-1]

②若函数f(x)在区间(-1,e-1)上单调递增，
f'(x)=1-a-aln(x+1)>=0
0<x+1<=e^[(1-a)/a]
由e^[(1-a)/a]>=e-1得
a<=1/[1+ln(e-1)]
实数a的取值范围
0<=a<=1/[1+ln(e-1)]

③证明:当m＞n＞0时，(1+m)的n次方和(1+n)的m次方都大于1，
设h(x)=In(1+x)/x
则h'(x)=[x/(1+x)-In(1+x)]/x^2
取g(x)=x/(1+x)-In(1+x)
g'(x)=(1+x-x)/(1+x)^2-1/(1+x) =-x/(1+x)^2<0，g(x)单调减
g(x)<=g(0）=0
从而h'(x)<0,h(x)单调减
所以ln(1+m)/m<ln(1+n)/n
nln(1+m)<mln(1+n)
所以（1+m)^n<(1+n)^m

Answer 2

1. a=1 f(x)求导=ln(x+1) 求单增区间，导数>0,求得x>0;
2. f(x)导数=（1-a）-aln(x+1) 因为单增，所以导数>0, 当a=0时，符合条件，当a不等于0时，ln(x+1)<(1-a)/a. 在(-1,e-1)上，ln(x+1)<1,所以 （1-a）/a大于等于1，求得a大于等于1/2.
所以a=0 或a大于等于1/2
3.我不确定第三题和第二题的关系，所以不确定这道题的答案：只需证明f(x)=(1+x)的1/x次幂是减函数就可以了，如果2 的条件x<e-1可用的话，应该不难证明。我不是大婶，所以，这个搞不定...