Question

大一线性代数证明题

Answer 1

因为|A+B|=|A|+|B|=0.
根据定理 n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是|A|不等于0；
所以，A+B为不可逆矩阵

一般来说，|A+B|=|A|+|B|可以直接拿来用，如果要证明的话。
可以设|A1|为：第一行元素为A的第一行元素，其余元素为0；
|A2|为：第二行元素为A的第二行元素，其余元素为0；
|Ai|为：第i行元素为A的第i行元素，其余元素为0。
同理，设|B1|、|B2|……|Bi|。|A+B|1、|A+B|2、|A+B|3、……|A+B|n。
根据定理，如果行列式的某一行（列）的每个元素都可以分解成两个元素之和，则此行列式等于两个行列式的和。
所以，|A|=|A1|+|A2|+……+|An|,B=|B1|+|B2|+……+|Bn|。
|A+B|=|A+B|1+|A+B|2+|A+B|3+……+|A+B|n。
所以，|A|+|B|=|A1|+|A2|+|A3|+……+|An|+|B1|+|B2|+|B3|+……+|Bn|
=|A1|+|B1|+|A2|+|B2|+|A3|+|B3|+……+|An|+|Bn|
=|A+B|1+|A+B|2+|A+B|3+……+|A+B|n。

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