Question

∫√(1+4x^2)dx 0≤x≤b

Answer 1

用分部积分法来做，
∫√(1+4x^2)dx
=x *√(1+4x^2) -∫x* d[√(1+4x^2)]
=x *√(1+4x^2) - ∫ 4x^2 /√(1+4x^2) dx
=x *√(1+4x^2) - ∫ [√(1+4x^2) - 1/√(1+4x^2) ]dx，
于是移项得到
∫√(1+4x^2)dx
=0.5*[x *√(1+4x^2) + ∫ 1/√(1+4x^2) dx]
而
∫ 1/√(1+4x^2) dx
= ∫ 0.5 *1/√(1+4x^2) d(2x)
=0.5 ln|2x+√(1+4x^2) |

所以
∫√(1+4x^2)dx
=0.5x *√(1+4x^2) +0.25ln|2x+√(1+4x^2)| +C
代入上下限b和0，
得到
原定积分
=0.5b *√(1+4b^2) +0.25ln|2b+√(1+4b^2)|

Answer 2

两个方法：
先用第二换元法。
∫ √(1 + 4x²) dx，x ∈[0，b]
令2x = tanθ，2 dx = sec²θ dθ
x = 0 --> θ = 0
x = b --> θ = arctan(2b)
∫ √(1 + 4x²) dx
= ∫ |secθ| * (1/2 * sec²θ dθ)
= (1/2)∫ sec³θ dθ
= (1/2)(1/2)[secθtanθ + ln|secθ + tanθ|]
= (1/4)[2b * √(1 + 4b²) + ln(2b + √(1 + 4b²))]
= (b/2)√(1 + 4b²) + (1/4)ln[2b + √(1 + 4b²)]

secθ = √(1 + tan²θ) = √[1 + tan²(arctan(2b))] = √[1 + (2b)²] = √(1 + 4b²)

分部积分法。
∫ √(1 + 4x²) dx
= x * √(1 + 4x²) - ∫ x * 1/[2√(1 + 4x²)] * 8x dx
= b * √(1 + 4b²) - 4∫ x²/√(1 + 4x²) dx
= b√(1 + 4b²) - ∫ [(1 + 4x²) - 1]/√(1 + 4x²) dx
= b√(1 + 4b²) - ∫ √(1 + 4x²) dx + ∫ dx/√(1 + 4x²)
2∫ √(1 + 4x²) dx = b√(1 + 4b²) + (1/2)∫ d(2x)/√(1 + (2x)²)
∫ √(1 + 4x²) dx = (b/2)√(1 + 4b²) + (1/4) * ln|2x + √(1 + (2x)²)|
= (b/2)√(1 + 4b²) + (1/4)ln[2b + √(1 + 4b²)]

公式：∫ 1/√(a² + x²) dx = ln|x + √(a² + x²)| + C

Answer 3

求定积分：[0，b]∫(1+4x²)dx
解：[0，b]∫(1+4x²)dx=[x+(4/3)x³][0，b]=b+(4/3)b³.