Question

已知二次函数y=x^2-mx+m-2.

Answer 1

（1）因为判别式=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4>0
，
因此对任意实数
m
，方程
x^2-mx+m-2=0
总有两个不相等的实根，
即
y=x^2-mx+m-2
的图像与
x
轴总有两个不同的交点。
（2）设
y=0
的两个根分别为
x1、x2
，
则
x1+x2=m，x1*x2=m-2
，
因此
|x2-x1|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4
，
由此知，当
m=2
时，|x2-x1|
取最小值
2
。

Answer 2

解：（1）
二次函数
y=x²-mx+m-2的图像总与x轴有交点
即方程x²-mx+m-2=0恒有
实数根

∵△=m²-4(m-2)=m²-4m+8≥4
∴无论m为何实数值时，函数的图像总与x轴有交点。
（2）方程x²-mx+m-2=0两根为x1，x2
根据
韦达定理

x1+x2=m
x1x2=m-2
∴|x1-x2|=√((x1+x2)²-4x1x2)
=√(m²-4m+8)
=√((m-2)²+4)
≥2
当且仅当m=2时
取得。
∴当m为2时，这两个交点间的距离最小，最小距离2。

Answer 3

设
x^2+mx+m-2
=
0
则
b²
-4ac
=
m²
-
4m
+
8

= m²
-
4m
+
4
+
4

=
(m
-2
)²
+
4
因为 无论m取任何实数，(m
-2
)²
+
4
都大于0
所以，无论m取任何实数，二次函数的图像总与x轴有两个交点。