Question

（线性代数追问）同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价？

问题是这样的：m维列向量组a1,a2……an，与m维列向量组b1,b2……bn等价，前一组组成矩阵A=(a1,a2……an)，后一组组成矩阵B=(a1,a2……an)，是否能推出矩阵A列等价于矩阵B？
我现在的问题是已知m维列向量组a1,a2……an，与m维列向量组b1,b2……bn等价，也就是ai(i=1,2……n)能用b1,b2……bn线性表示，bj(j=1,2……n)能用a1,a2……an线性表示，想证明：存在可逆矩阵Q，使得(b1,b2……bn)=(a1,a2……an)*Q。注意这里Q只要存在就行，比如@ldydc举例说a1T=(1,0,0),b1T=(3,0,0),b2T=(4,0,0),的确，存在不可逆阵M=(第一行3,4；第二行0,0)使得(b1,b2)=(a1,a2)*M,但同时也存在可以矩阵Q=(第一行1/3,0；第二行0,1/2)使得(b1,b2)=(a1,a2)*Q，成立，因此不能推翻原命题。（原命题即：m维列向量组a1,a2……an，与m维列向量组b1,b2……bn等价，前一组组成矩阵A=(a1,a2……an)，后一组组成矩阵B=(a1,a2……an)，则矩阵A列等价于矩阵B）

PS：之前感谢@ldydc 对前一问题作出的深入分析，在下受益匪浅。

Answer 1

向量组I与II等价，即可以互相表出，则A,B在同一线性空间内；
可以把I,II都当作线性空间的一组基（前提是I,II自身线性无关，如果自身线性相关可以取极大无关组，思路是一样的）
列向量组I写成矩阵A,组II写成B

则有过渡矩阵T使
B=AT
由T的可逆性
A=BT^(-1)
知
矩阵A与B等价

那个网友指出的矩阵不是过渡矩阵而已

追问

谢谢您的回答，但是我不太了解过度矩阵的说。因为同济给出的过渡矩阵是R^n的向量空间的过渡矩阵，而这边因为是任意可能出现的m维列向量组a1,a2……an，与m维列向量组b1,b2……bn。所以当每个向量的维数大于，或者小于n的时候是否有过渡矩阵我不是很清楚。。。。

追答

如果个数大于维数
只要取其中的极大线性无关组就可以了
线性变换的时候

多余出来的向量可以令其系数为0
如果是维数大于个数
只要是等价的（极无关组的向量个数相同，又都是m维）
那一定可以扩充为一个m维线性空间的基
然后再做变换（过渡）