Question

已知函数fx满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立,x>0时,f(x)>2

1)求f（0）的值，并证明当x＜0时1＜f（x）＜2：
2)判断f（x）的单调性并加以证明：
3）若g（x）=│f（x）-k│在（-∞,0）上递减，求实数k的取值范围.

Answer 1

(1)解析：∵函数f(x)满足对任意x,y∈R，都是有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立
令x=y=0代入得f(0+0)=f(0)^2-2f(0)+2==>f(0)^2-3f(0)+2=0==>f(0)=1或2
令x=0==>f(0+y)=f(0)f(y)-f(0)-f(y)+2
若f(0)=1,则f(y)=1
∵x>0时，f(x)>2
∴f(0)=1与x>0时f(x)>2不符
故f(0)=2
当x<0时，令y=-x，则f(x+y)=f(0)=f(x)f(-x)-f(x)-f(-x)+2=2==>f(x)f(-x)-f(x)-f(-x)=0f(-x)=f(x)/(f(x)-1)=2+1/[f(x)-1] >2∴0<f(x)-1<1
∴x<0时，1< f(x)<2

(2)令x1<x2, f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x2-x1)-2f(x1)+2=(f(x1)-1)(f(x2-x1)-2)
∵x2-x1>0
∴f(x2-x1)>2
∵f(x)>1==>f(x1)>1
∴f(x2)-f(x1)>0，f(x)在R上单调增。

(3)解析：令g(x)=|f(x)-k|=|f(x)-k|,在(-∞,0)上递减
∵f(x)-k在R是单调增
当x=0时，f(0)-k=2-k
令2-k<=0==>k>=2
∴g（x）在(-∞,0)上递减，实数k的取值范围为k>=2

Answer 2

(1)令y=0,f(x)=f(x)f(0)-f(x)-f(0)+2,
[f(0)-2][f(x)-1]=0对任意x都成立。又x>0s时，f(x)>2
∴f(0)=2
f(0)=f(x)f(-x)-f(x)-f(-x)+2;
f(x)f(-x)=f(x)+f(-x),
f(x)=f(-x)/[f(-x)-1]=1+1/[f(-x)-1]当x<0时f(-x)>2,
1+1/[f(-x)-1]>1,
令F(x)=1+1/[x-1],x≥2，函数F在[2,+∞)上单调递减，即F(x)≤F(2)=2,当且仅当x=2时取等号
∴f(x)<2
∴当x<0时1＜f（x）＜2。