Question

关于二元函数

如何证明二元函数在某点的连续性？其偏导数在某点存在否？ 连续否？可微否？
四个问题请一次罗列回答。

Answer 1

二元函数的连续性只需考察间断点处，因为在定义域内初等函数都是连续的，对于间断点(x0,y0)，用定义考察其连续性，也就是证(x,y)趋于(x0,y0)时limf(x,y)=f(x0,y0)。偏导数是否存在也是用定义验证的，以对x的偏导为例，按定义求(x0,y0)处的偏导数，即求x趋于x0时lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)，此极限存在与否就是偏导存在与否。假设(x0,y0)点对x的偏导存在，记为c，现在来讨论偏导数在该点是否连续，按求导公式求出不在该点时的偏导函数，记为f'x(x,y)，下面考察(x,y)趋于(x0,y0)时极限limf'(x,y)，如果这个极限存在且等于c，那么偏导数在该点连续，否则不连续。判断是否可微也可以用定义，这时要先求出该点的两个偏导数，分别记为A.B，还是考察(x,y)趋于(x0,y0)时极限lim[f(x.y)-f(x0,y0)-a(x-x0)-b(y-y0)]/[(x-x0)^2+(y-y0)^2]^(1/2)，此极限是否存在就决定是否可微。当然这些问题有时也可以用相关定理来解决，比如可微一定连续，可微一定偏导数存在，偏导数连续一定可微等，用定理来解决要比定义简单的多，但是不是万能的，有些问题必须依靠定义。