设A为N阶可逆矩阵,则|A*|=?

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旗语彤潘漫
2020-02-11 · TA获得超过3万个赞
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(1)证明:若
a
可逆,根据“a的逆矩阵”与“a的伴随矩阵”关系式a^-1=a*/│a│,
得伴随矩阵为
a*
=│a│a^-1-------------------(a)
于是
(a*)^-1
=(│a│a^-1)^-1=a/│a│---------------------(b)
类似的,套用伴随矩阵的公式(a),可得a^-1
的伴随矩阵是
(a^-1)*
=│a^-1│(a^-1)^-1=(1/│a│)·a=a/│a│-----------(c)
由(b)(c)两式可知
(a*)^-1=(a^-1)*
(2)证明:因为aa*=|a|e,两边取行列式得|a||a*|=||a|e|,而||a|e|=|a|^n,所以|a*|=|a|^(n-1)-----------------------(d)
a可逆,则由(a)得,(a*)*=|a*|(a*)^-1,由(b)(d)得,(a*)*=|a|^(n-1)·(a/|a|)=|a|^(n-2)·a
大苍腾榆
2020-02-11 · TA获得超过3万个赞
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设a是A的属于特征值λ的特征向量

Aa=λa
两边左乘A*得
A*Aa
=
λA*a
所以
|A|a
=
λA*a.
因为
A
可逆,
所以
λ
不等于0
所以
A*a
=
|A|/λ
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