Question

在矩形ABCD中,AB=3√3,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到C',且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上。（1）:...

在矩形ABCD中,AB=3√3,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到C',且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上。（1）:求证:AC'垂直BC'.（2）:求AB与平面BC'D所成的角的正弦值，（3）:求二面角C'－BD-A的正切值

Answer 1

1、从C‘作CH⊥平面ABD，则H在AB上，H是C’在平面ABD上的射影，
∴平面ABC‘⊥平面ABD，
∵DA⊥AB，（已知四边形ABCD是矩形），
∴AD⊥平面ABC’，
∵BC‘∈平面ABC’，
∴AD⊥BC’，
∵《BC‘D=90°，（原矩形的一个直角），
∵DC’∩AD=D，
∴BC；⊥平面ADC‘，
∵AC’∈平面ADC‘，
∴AC‘⊥BC’。
2、∵H∈AB，
∴HB与平面BDC‘所成角就是AB与平面BDC’所成角，
由前所述△ABC‘是RT△，
根据勾股定理，
AC’=√(AB^2-BC'^2)=3√2，
∵C‘H*AB=AC’*BC‘=2S△C’AB，
∴C‘H=3*3√2/（3√3）=√6，
∵RT△C‘AH∽RT△BAC’，
∴AC‘^2=AH*AB,
∴AH=18/3√3=2√3，
∴BH=3√3-2√3=√3，
∴BH/AH=1/2，
∴S△BDH=S△ABD/3=（3√3*3/2）/3=3√3/2，
三棱锥C‘-BHD体积：VC-BDH=S△BDH*C’H/3=3√2/2，
设H至平面BDC’距离为 d,
S△BDC’=9√3/2，
VH-BDC'=d*S△BDC‘=3√3d/2,
∴3√3d/2=3√2/2，
d=√6/3，
设AB与平面BDC‘成角为α，
∴sinα=d/BH=(√6/3)/√3=√2/3。
3、由前所述，△BDH就是△BDC‘在平面ABD上的投影，
设二面角A-BD-C’平面角为θ，
则S△BDH=S△BDC‘*cosθ，
∴cosθ=S△BDH/S△BDC‘=（3√3/2）/（9√3/2）=1/3，
sinθ=√（1-1/9）=2√2/3，
∴tanθ=sinθ/cosθ=2√2。
二面角C'－BD-A的正切值为2√2。

Answer 2

1）∵C'在面ABD上投影为O
∴C'O⊥面ABD
∵AD∝面ABD
∴C'O⊥AD
∵AD⊥AB,AB∩AD=A
AB∝面ABD,AD∝面ABD
∴AD⊥面ABC'
又∵BC'∝面ABC'
∴AD⊥BC'
∵BC'⊥C'D，AD∩C'D=D
C'D∝面ADC'，AD∝面ADC'
∴BC'⊥面ADC'
又∵AC'∝面ADC'
∴BC'⊥AC'
2）∵C'在平面ABD的射影O恰好在AB上
∴AB在面BC'D上的投影是BC'
即∠ABC'为AB与平面BC'D所成的角
∵BC'⊥AC'，BC'=3，AB=3√3
∴AC'=3√3/2
即sin∠ABC'=1/2
AB与平面BC'D所成的角的正弦值为1/2
3）