Question

已知函数f(x)=x+1/x 用定义法证明f(x)在[1，正无穷]上是曾函数

用定义法证明，谢谢

Answer 1

证明：设x2>x1>=1,则x1*x2>1
因为f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-(x1+1/x1)=x2-x1+(x1-x2)/(x1*x2)=(x2-x1)*(x1*x2-1)/(x1*x2)>0
所以f(x)在[1，正无穷）上是增函数

Answer 2

令x1< x2 ∈(1,+∞)
f(x1)-f(x2)
x1+1/x1 -x2-1/x2
=(x1²x2+x2-x1x2²-x1) / (x1x2)
=[x1x2(x1-x2)-(x1-x2)] / (x1x2)
=[(x1-x2)(x1x2-1)] / (x1x2)
∵x1-x2<0 x1x2-1>0 分子为负
x1x2>0 分母为正
f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)
所以 f(x)在(1,+∞)上为增函数

Answer 3

设x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[1-1/(x1x2)]
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
因为
x1-x2>0
x1x2-1>0
x1x2>0
所以
f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
由定义，知
f(x)在[1，正无穷]上是增函数