Question

在椭圆x²/16+y²/12=1上找到一点使这一点到直线x-2y-12=0的距离有最小值。 怎么做

在椭圆x²/16+y²/12=1上找到一点使这一点到直线x-2y-12=0的距离有最小值。 怎么做啊？详细一点啦，谢谢。

Answer 1

解:与已知直线平行且与椭圆相切的直线为x-2y+m=0
椭圆方程与所设的直线方程联立消x得
16y²-12my+3m²-48=0
△=(12m)²-4*16*(3m²-48)=0
m²=64 m=±8
m=+8,16y²-12*8y+3*64-48=0
y²-6y+9=0
(y-3)²=0 y=3 x=2y-m=-2
m=-8,y²+6y+9=0
(y+3)²=0 y=-3 x=2y-m=2
所以所求点是(2,-3)或(-2,3)
由0-2*0-12=-12<0知已知直线在x轴下方
所以所求点也应在x轴下方
即是(2,-3)。

追问

谢谢你啦！可是要有参数方程做的

追答

椭圆的参数方程为: x=4cosx y=2√3sinx
M到直线x-2y-12=0的距离
=|4cosx-2*2√3sinx-12 |/√5
=|8(1/2*cosx-√3/2*sinx)-12|/√5
=|8cos(60º+x)-12|/√5
∴当x=-60º距离最小
∴x=4*(1/2)=2, y=2√3*(-√3/2)=-3

Answer 2

参见指导：
设直线x－2y＋m=0与椭圆x²/16＋y²/12=1相切

代入，消去x，得：
16y²－12my＋3m²－48=0
令判别式=0
得：m=8（舍去）或m=－8
将直线x－2y－8=0与椭圆联立求出交点是P(2，－3)，P即为所求的点。