Question

如图：在梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,AD=8cm,CD=6cm,BC=10cm,点P

以每秒1cm的速度从点C出发沿CD向点D运动，同时点E以每秒2cm的速度从点B出发沿BC向点C运动．过点E作EF⊥AB，交AB于点F，连结PA、PE．设运动时间为t秒．4)是否存在某一时刻t ，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的5/9 ？若存在，求出此时点E的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：1）过A做AG垂直于CB，G为垂足。直角三角形AGB中：AG=DC=6（四边形ADCG是矩形），GB=CB-CG=CB-DA=10-8=2(同理DA=CG)，斜边AB=5*1.414=7 。
2）假设t秒时PE平行于AB，则两直角三角形PCE、AGB为相似三角形，可得PC:AG=CE:GB
将PC=t ，CE=10-2t ，GB=2 ，AG=6带入上式得：t=30/7=4.3秒
3）如图四边形APEF面积是直角梯形ADCB的面积减去三个直角三角形ADC、PCE、EBF的面积。Sapef=Sadcb-Sadp-Spce-Sebf
Sadcb=CD*(AD+CB)/2=6*(8+10)/2=54
Sadp=AD*DP/2=AD*(DC-PC)/2=8*(6-t)/2=24-4t
Spce=PC*CE/2=t(CB-2t)=t*(10-2t)
Sedf=(EB/AB)Sagb=(t/7)*6*2/2=(6/7)t
Sapef=54-(24-4t)-(t*(10-2t))-(6/7)t=2t*t-(48/7)t+30