Question

求高人高数极限与导数疑问：能证明在h->0时,limf(x+2h)=f(x)吗？需要什么前提条件吗？

有个大概的证明过程就可以，谢谢

Answer 1

f在x处连续即可

追问

您好，那么如果换成一阶导数，只要这个导函数在x处连续还是limf'(x+2h)=f'(x)，对吗？那么图中画线处的式子可以等于f"(x+h)吗？

追答

换成一阶导数，只要这个导函数在x处连续还是limf'(x+2h)=f'(x)，对
看不清楚图。画线处的式子不可以等于f"(x+h)，因为h是变量。那最后的等式是二阶导数定义。

Answer 2

limf(x+2h)=f(x)从定义上等价于f在x处连续

追问

您好，那么如果换成一阶导数，只要这个导函数在x处连续还是limf'(x+2h)=f'(x)，对吗？那么图中画线处的式子可以等于f"(x+h)吗？

追答

是的

追问

那图中画线的式子不能等于f"(x+h)对吗？因为我们不确定f"(x)这个函数是否连续，这样解释对吗？

追答

不能这样解释
因为式子取极限h->0之后，式子里就不能再有h了，应该是一个与h无关的式子

这里应该吧划线处化成[f(x+2h)-f(x)]/2h和[f(x+h)-f(x)]/h的组合，即f''(x)的表达式

Answer 3

只需要连续这个条件

追问

您好，那么如果换成一阶导数，只要这个导函数在x处连续还是limf'(x+2h)=f'(x)，对吗？那么图中画线处的式子可以等于f"(x+h)吗？