Question

已知圆x^2+y^2+2ax-2ay+2a^2-2a=0(0<a≤4)的圆心为C，直线l:y=kx+4

(1)若k=1,求直线l被圆C所截得的弦长的最大值；（2）若直线l与圆C相切，切点为T，点P（0,4），求线段PT的取值范围。

Answer 1

1.k=1,将y=x+4带入x^2+y^2+2ax-2ay+2a^2-2a=0，整理后得到：x^2+4x+a^2-5a+8=0。既然是弦长，肯定要有交点，那么二次方程至少有一个解，判别式大于等于0，于是a的范围是[1,4]。如果两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，弦长可以表示为：d=√|x1-x2|^2+|y1-y2|^2=√|x1-x2|^2+|(x1+4)-(x2+4)|^2=√2|x1-x2|^2=√2√|x1+x2|^2-4x1x2=√2√-4(a-5/2)^2+9,dmax=3√2
2.圆方程整理后易得:C点坐标为(-a,a),半径为√2a,PT=√CP^2-TC^2=√(0-(-a))^2+(4-a)^2-2a=√2(a^2-5a+8),注意a的范围是(0,4],PT的取值范围为：[√2/2,4)。