用数学归纳法证明：1＋1/√2＋1/√3+1/√4+...+1/√n＜2√n(n∈N*)
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证明：（1）n=1时，1>2√1，成立。
（2）假设n=k>1时成立。
（3）1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
∵√[k(k+1)]<k
∴2√(k+1)²-2√[k(k+1)-1>2k+2-2k-1=1>0
∴{2√(k+1)²-2√[k(k+1)-1]/√(k+1)>0
∴2√(k+1)-2√k-1/√(k+1)>0
∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1）
∴1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)
∴n=k+1时，成立
∴得证
（2）假设n=k>1时成立。
（3）1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
∵√[k(k+1)]<k
∴2√(k+1)²-2√[k(k+1)-1>2k+2-2k-1=1>0
∴{2√(k+1)²-2√[k(k+1)-1]/√(k+1)>0
∴2√(k+1)-2√k-1/√(k+1)>0
∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1）
∴1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)
∴n=k+1时，成立
∴得证
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