Question

a1=8,an+1=1/2 an²-4，求an=?

a1=8,an+1=1/2 an²-4，求an=? 大佬 求解

Answer 1

如果是-的话，
因为2x^2-1会让人联想到令x=cosa
那么2(cosa)^2-1=cos2a

所以令a1=cosa,
然后一步一步递推，就得到了an=cos(2^(n-1)a)
可是要是＋的话，真的没法弄啊。有好多好多的数列，都没有通解。按照我的知识范围，真的无法说明他为什么没有解，sorry.
不过-的话，可以这么做，令a1=2=cosa，a是个复数，这个a最后可以算出来。
递推到an=cos(2^(n-1)a)
因为cosa=(e^(ia)+e^(-ia))/2=(t+1/t)/2=2
上面是设t=e^(ia)，然后解得t=2±√3
所以a=
-ilnt=
-iln(2±√3)
然后带入an=cos(2^(n-1)a)=cos(-i*2^(n-1)ln(2±√3))=cosm
=(e^(im)+e^(-im))/2
=(2+√3)^(2^(n-1))+(2-√3)^(2^(n-1))