Question

已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h.

1.当P在BC上，此时h3=0，证明：h1+h2+h3+=h
2.当P△ABC内时，上述结论还成立吗？试证明你的结论
3.当P△ABC外时，猜想并直接写出它们之间的结论，无需证明

Answer 1

三问均可以用面积法求解，首先求出等边△ABC的面积，设△ABC的边长为a，那么很容易得到a²=h²+(0.5a)²，解得a=2√3h/3，所以S（△ABC）=0.5·a·h=√3h²/3。

1..当P在BC上，此时h3=0，由S（△ABC）=S（△ABP）+S（△ACP），得2×√3h²/3=a·h1+a·h2，把a=2√3h/3代入，得h1+h2=h，因为h3=0，所以h1+h2+h3=h。

2.用同样的证法，由S（△ABC）=S（△ABP）+S（△ACP）+S（△BCP），得
2×√3h²/3=a·h1+a·h2+a·h3，把a=2√3h/3代入，得h1+h2+h3=h。

3.有三种情况，根据P点位置不同有不同结论，设BC为水平线方向，A在BC上方（为了说明方向才这样设），

当P在△ABC右上方时，h1+h3-h2=h，
当P在△ABC左方时，h2+h3-h1=h，
当P在△ABC下方时，h1-h2+h3=h，

三个结论证法类似，本人以第一个结论举例证明，（自己做出图），连结PA、PB、PC，则由
S（四边形PABC）=S（△PAB）+S（△PBC）=S（△PAC）+S（△ABC），得
a·h1+a·h3=a·h2+2×√3h²/3，把a=2√3h/3代入，得h1+h3-h2=h。
下面两个结论证法类似，这里留给楼主自己证明。

Answer 2

当点P在△ABC内时，结论成立．证明如下：
如图2，连接PA，PB，PC
∵S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC
∴12AB•h1+12AC•h2+12BC•h3=12BC•h
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h
当点P在△ABC外时，结论不成立，
理由如下：如图（3）连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即12BC•AM=12AB•PD+12AC•PE-12BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h．