Question

已知函数f(x)=x|x+1|-x-2是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n]

Answer 1

解答：
f(x)=x|x+1|-x-2
当x≥-1时，f(x)=x(x+1)-x-2=x²-2，
则f(x)在(0,+∞)上是增函数，在(-1,0)上是减函数
当x<-1时，f(x)=x(-x-1)-x-2=-x²-2x-2，
则f(x)在(-∞，-1)上是增函数

分类讨论
（1）0≤m<n
则f(m)=m,f(n)=n
∴ x²-2=x
解得 x=-1或x=2
不符合0≤m<n
（2）
m<0，n>0时，
则最小值是-2，
要满足条件，
∴ m=-2
∴ f(n)=n

即 n²-2=n
∴ n=2(设负)
即 【-2,2】满足条件
（3）

-1≤m<n<0
此时f(x)是减函数
∴ f(n)=m,f(m)=n
即 n²-2=m, m²-2=n
两式子相减
则 (n-m)(n+m)=m-n
∴ n+m=-1
∴ n=m+1
∴ (m+1)²-2=m
∴ m²+m-1=0
∴ m=(-1±√5)/2,不满足-1<m<0
（4）m<-1<n<0
此时最大值是-1,∴ n=-1
与条件不符
（5）m<n≤-1
此时f(x)是增函数
则f(m)=m，f(n)=n
∴ -m²-2m-2=m
∴ m²+3m+2=0
∴ m=-1或m=-2
∴【-2，-1】满足要求

综上，m=-2,n=-1或m=-2,n=2