Question

如图在平面直角坐标系中，正方形oabc的顶点o与原点重合

如图在平面直角坐标系中，正方形oabc的顶点o与原点重合，顶点a。c分别在x轴，y轴上，反比例函数y=k/x的图象与正方形的两边AB，bc分别交于点m，n，连接om，on，mn

求证三角形ocn全等于三角形oam
若∠MON=45°，mn=2，求点n的坐标
将条件中的正方形改为矩形，并添加条件oc=4，oa=3，问是否存在k值，使mn垂直om，若存在求出k值，若不存在说明理由

Answer 1

解：∵点M、N都在y=
k
x
的图象上，
∴S△ONC=S△OAM=
1
2
k，即
1
2
OC•NC=
1
2
OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正确；
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，所以②错误；
∵S△OND=S△OAM=
1
2
k，
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；
作NE⊥OM于E点，如图，
∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=
√2
x，
∴OM=
√2
x，
∴EM=
√2
x-x=（
√2
-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（
√2
-1）x]2，
∴x2=2+
√2
，
∴ON2=（
√2
x）2=4+2
√2
，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=
√2
2MN=
√2
，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-
√2
，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-
√2
）2=4+2
√2
，解得a1=
√2
+1，a2=-1（舍去），
∴OC=
√2
+1，
∴C点坐标为（0，
√2
+1），所以④正确．
故选C．