Question

已知如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P为△ABC的内部一点，且PC=AC，

∠PCA=120°-α
求证∠BAP=∠PCB。

（图看起来好像不大对，只凭已知条件吧，急！）

Answer 1

解：在△ABC内取点D，使得PD//BC且BP=CD，连结AD
则易知四边形BCDP是等腰梯形
有∠PBC=∠DCB
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB
则∠ABP=∠ACD
所以△ABP≌△ACD (SAS)
则AP=AD且∠BAP=∠CAD
在△ACP中，PC=AC，∠PCA=120°-a
则∠APC=∠PAC=(180°-∠PCA)/2=[180°-(120°-a)]/2=30°+a/2
又∠BAC=a，则∠BAP=∠BAC-∠PAC=a-(30°+a/2)=a-30°
所以∠PAD=∠BAC-∠BAP-∠CAD=a-2(a-30°)=60°
因为AP=AD，所以△PAD是等边三角形
则PD=AD
所以△PCD≌△ACD (SSS)
则∠PCD=∠ACD=∠PCA/2=60°-a/2
又∠BCA=∠CBA=(180°-∠BAC)/2=90°-a/2
则∠BCD=∠BCA-∠ACD=90°-a/2 -(60°-a/2)=30°
所以∠PBC=∠BCD=30°

Answer 2

∵∠BAC= α，AB=AC ∴∠ACB=∠ABC=(180°-α)/2
∵∠PCA=120°-α,PC=AC∴∠CAP=∠CPA=(180°-120°+α)/2=30°+α/2

∵∠BAP=α-30°-α/2=α/2-30°
又∵∠PCB=∠ACB-∠PCA=(180°-α)/2-(120°-α)=α/2-30°

∴∠PCB=∠BAP

Answer 3

最后的问题不对吧。
AB=AC，角BAC＝a
则角ABC=角ACB=90度-a/2
角PCB=角ACB-角ACP=a/2-30度

PC=PA
则角PAC=角PCA=120度-a
角BAP=角A-角PAC=a-(120-a)=2a-120度
得出：角BAP=4角PCB

Answer 4

∠BAP=α-∠PAC
=α-（2分之60°+α）
=2α-60°-α
=α-60°
∠PCB=∠ACB-∠ACP
=∠ABC-(120°-α）
=2分之180°-α-120°+α
=180°-α-240°+2α
=α-60°
∴∠BAP=∠PCB