Question

高等数学罗尔定理问题

设函数f(x)在【0,1】上二阶可导,且有f(0)=f(1)=0,设F(x)=xf(x),证明：至少存在一点e∈（0,1），使得F``(e)=0

Answer 1

F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(0)=F(1)=0，根据罗尔定理，至少存在一点ζ∈（0,1），使得F'(ζ)=0。
F'(x)=f(x)+xf'(x)，F'(0)=f(0)+0=0，所以F'(x)在[0,ζ]上连续，在(0,ζ)内可导，F'(0)=F'(ζ)=0，由罗尔定理，至少存在一点e∈(0,ζ)，使得F''(e)=0。
所以，至少存在一点e∈（0,1），使得F''(e)=0。