Question

已知数列{an}满足a1=1/2,a(n+1)=1/2an+1,则an=

Answer 1

解法1：因为a1=1
,
a(n+1)=an^2/(2an+1),所以an>0
所以1/a(n+1)=(2an+1)/an^2=2/an+1/an^2=(1+1/an)^2-1
所以1+1/a(n+1)=(1+1/an)^2
所以lg(1+1/a(n+1))=lg(1+1/an)^2=2lg(1+1/an)
所以数列{lg(1+1/an)}是首项为lg(1+1/a1)=lg2,公比为2的等比数列
所以lg(1+1/an)=lg2*2^(n-1)=lg2^2^(n-1)
所以1+1/an=2^2^(n-1)
所以an=1/(2^2^(n-1)-1)
解法2：因为a1=1,a(n+1)=an^2/(2an+1)
所以an>0
所以a(n+1)/(1+a(n+1))=[an^2/(2an+1)]/[1+an^2/(2an+1)]=an^2/(an^2+2an+1)=(an/(1+an))^2
所以lg(a(n+1)/(1+a(n+1)))=lg(an/(1+an))^2=2lg(an/(1+an))
（以下步骤同解法一）
所以数列{lg(1+1/an)}是首项为lg(1+1/a1)=lg2,公比为2的等比数列
所以lg(1+1/an)=lg2*2^(n-1)=lg2^2^(n-1)
所以1+1/an=2^2^(n-1)
所以an=1/(2^2^(n-1)-1)
解法3：数学归纳法...不写了，请容许我偷懒...