Question

已知a，b>0，且a+b=1，求1/a^2+8/b^2的最小值

Answer 1

二楼的解答我不赞成，取等于号时，要确保2b/a=16a/b和b^2/a^2=8a^2/b^2同时成立，即b^2=8a^2和b^4=8a^4同时成立，后者b^2=2√2a^2，所以不成立
正确解法如下：
根据题意,设a=x,b=1-x
0<x<1
令1/a^2+8/b^2=y，则y=1/x^2+8/(1-x)^2
(0<x<1)取其最小值
y'=-2/x^3+16/(1-x)^3
=[16x^3-2(1-x)^3]/x^3(1-x)^3
令y'=0，则8x^3=(1-x)^3，2x=1-x,得x=1/3
说明函数y只有一个极值点，x在其取值区间里又不能等于两端点值
所以x=1/3时，函数y取最小值=27
即1/a^2+8/b^2的最小值为27

Answer 2

a+b=1
2/a
+1/b
=2(a+b)/a
+(a+b)/b
=2b/a
+
a/b
+3
a>0
b>0
a/b>0
b/a>0
由均值不等式得，当2b/a
=a/b时，即a=√2b时，2b/a
+a/b有最小值2√2
此时2/a
+1/b有最小值3+2√2。