Question

如图,△ABC是等边三角形,P是三角形外一点,且∠ABP+∠ACP=180°.求证：AP平分∠BPC

Answer 1

证明:作AE垂直PB于E,AF垂直PC的延长线于F.
∵∠AEP+∠AFP=180°.
∴∠EAF+∠BPC=180°.
又∵∠ABP+∠ACP=180°.
∴∠BAC+∠BPC=180°.
则:∠BAC=∠EAF;又AB=AC,∠AEB=∠AFC=90°.
∴⊿AEB≌⊿AFC(AAS),AE=AF.
故:AP平分∠BPC.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)

Answer 2

把△APC以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到△ABP'
所以△APC≌△ABP'
∴∠APC=∠AP'B
AP'=AP
∠ACP=∠ABP‘
∵∠ABP+∠ACP=180°
∴∠ABP+∠ABP‘=180°即P'BP为直线
又∵
AP'=AP
∠AP’B=∠APB
∴∠APB=∠APC
AP平分∠BPC

Answer 3

证明,将,△APC逆时针旋转使AC与AB重合得,△AP'C
∠ABP+∠ACP=180°
P',B,P共线
又因AP=AP'且∠PAP'=∠PAB+∠PAC=60°
所以,△PAP'是等边三角形
∠APB=∠AP'B,
又∠APC==∠AP'B,
∠APB=∠APC
AP平分∠BPC