Question

求x趋于0时（tanx/x）^（1/x^2）的极限

用罗比达法则，答案是e^1/3,详细点，谢谢

Answer 1

有个算是公式的东西的就是求极限（1+α(x))^β(x)=e^α(x)β(x)
原式添项提出1+α(x)的形式，底数会得到1+(tanx-x)/x
利用上公式极限的式子就是e^((tanx-x)/x^3)
接下来洛必达法则，再分子通分后得到的幂指数的式子：(tanx)^2/3x^2
在x接近0时 tanx是趋向于x的 上幂指数式子变换为(x^2)/3(x^2)
约分后为1/3
所以极限为e^(1/3)
洛必达法则后通分的过程并不难，可以的吧

Answer 2

设Y=（tanx/x）^（1/x^2）
同时取对数lnY={ln（tanx/x）}/x^2
右边用洛必达法则得：分子：1/sinxcosx—1/x
分母2x
化成{x/(2sinxcosx）}*{（x-sinxcosx)/x^3}
乘式左右再用罗比达法则得
（1/2cos2x){(1-cos2x)/3x^2}=（1/2cos2x){(2sin^2x)/3x^2}=（1/2cos2x){2/3(sinx/x)^2}
继续用洛必达得
1/3
所以lnY=1/3
y=e^1/3