Question

中位线的证明

Answer 1

梯形中位线证明：
梯形ABCD，左上为A，左下为B，右下C
E为AB的中点，F为CD的中点，连接EF，
求证：EF平行两底且等于两底和的一半。
证明：连接AF，并且延长AF与BC的延长线交于O
在△ADF和△FCO中
因为：AD//BC
所以：角ADF=角OCF
因为：角AFD=角OFC
DF=DC
所以：△ADF和△FCO全等
CO=AD
OF=AF
延长EF到H，使EF=FH，
连接OH。
在△AEF和△OHF中
OF=AF
EF=FH
角OFH=角AFE
所以：△AEF和△OHF全等
AE=OH
角EAF=角HOF
所以：OH//AE//AB
因为：AE=EB
故：EB=OH
EB=OH
OH//AE//AB
所以：EBOH是平行四边形
EH//BO
EH=BO
因为：EF=FH
EH=2EF=OB
OB=BC+CO
CO=AD
所以：2EF=BC+AD
EF=（BC+AD）÷2
梯形的中位线平行与上下两底且等于两底和的一半
三角形中位线证明：
已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。　　求证DE平行且等于1/2BC　
证明：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。　　
∵CF∥AD　　
∴∠A=ACF　　
又∵AE=CE、∠AED=∠CEF　　
∴△ADE≌△CFE
　　
∴DE=EF=DF/2
AD=CF
　　
∵AD=BD　　
∴BD=CF
　　
∴BCFD是平行四边形
　　
∴DF∥BC且DF=BC　　
∴DE=BC/2　　
∴三角形的中位线定理成立

Answer 2

延长中位线，使延长线的长度等于中位线的长度，连结延长线端点与三角形的一个顶点（中位线所对的边），会构成一个四边形（以中位线及延长线与中位线所对的边为对边的四边形），证明这个四边形为平等四边行。
根据一组对边平等且相等证。