Question

已知数列{an}的前n项和Sn=(n^2+3n)/2。 （1）求通项an；（2）设bn=an×2n，求数列{bn}的前n项和Tn。

Answer 1

解：
(1)
n=1时，a1=S1=(1²+3×1)/2=2
n≥2时，Sn=(n²+3n)/2 S(n-1)=[(n-1)²+3(n-1)]/2
an=Sn-S(n-1)=(n²+3n)/2 -[(n-1)²+3(n-1)]/2=n+1
n=1时，a1=1+1=2，同样满足
综上，得数列{an}的通项公式为an=n+1
(2)
bn=an×2n=(n+1)×2n=2(n²+n)
Tn=b1+b2+...+bn
=2[(1²+2²+...+n²)+(1+2+...+n)]
=2[n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2]
=2n(n+1)(n+2)/3
第二问写得很不清楚，不知道是不是想写2ⁿ，不过按你写的2n，就是n的2倍，因此就按n的2倍计算了。如果不是，请追问。

追问

对对上次打错了，应该是2^n

Answer 2

(1)
Sn=(n^2+3n)/2
Sn-1=[(n-1)^2+3(n-1)]/2
an=Sn-Sn-1=(n^2+3n)/2-[(n-1)^2+3(n-1)]/2=n+1
当n=1时，
a1=2，S1=2
所以
an=n+1
(2)
bn=an×2n=2n^2+2n

b1=2*1^2+2*1
b2=2*2^2+2*2
b3=2*3^2+2*3
......
bn-1=41n-1)^2+2(n-1)
bn=2n^2+2n
左右相加得
b1+b2+b3+...+bn-1+bn
=(2*1^2+2*1)+(2*2^2+2*2)+(2*3^2+2*3)+...+[41n-1)^2+2(n-1)]+2n^2+2n
=2[1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2]+2[1+2+3+...+(n-1)+n]
=1/3*n(n+1)(2n+1)+n(n+1)

所以Tn=1/3*n(n+1)(2n+1)+n(n+1)