设A,B均为n阶矩阵，且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值，则B相似于对角矩阵；
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(1) AB=BA等价于(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)
把P^{-1}AP取成对角阵即可，接下去自己动手算
(2) 方法同上，取P1使得P1^{-1}AP1是对角阵，并且额外地把P1^{-1}AP1按特征值排列成diag{aI, bI, cI, ...}，然后用分块乘法验证P1^{-1}BP1也是分块对角阵，再把每块都对角化即可
把P^{-1}AP取成对角阵即可，接下去自己动手算
(2) 方法同上，取P1使得P1^{-1}AP1是对角阵，并且额外地把P1^{-1}AP1按特征值排列成diag{aI, bI, cI, ...}，然后用分块乘法验证P1^{-1}BP1也是分块对角阵，再把每块都对角化即可
追问
第一问中，若C=P^(-1)AP,化简成CP^(-1)BP=P^(-1)BPC,然后如何化简呐？还没转过弯来，请指教。
追答
C=P^(-1)AP
F=P^(-1)BP
用CF=FC解出F是对角阵
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第二问，S^-1AS=C=diag(a1*I1,a2*I2,...,ar*Ir)
分为r块，每块特征值相同,Ii都是单位阵
SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1，右乘S，得
CS^-1BS=S^-1BSC，记G=S^-1BS，那么CG=GC
因为C是对角阵，而G与C可交换，易知
G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵，Gi与Ii同阶
再将Gi进行对角化，即存在可逆阵Ti，
使得Ti^-1*Gi*Ti=Di是对角阵
记T=diag(T1,T2,...,Tr)是块对角可逆阵
于是T^-1GT=diag(D1,D2,...,Dr)=D是对角阵
即T^-1S^-1BST=D
而T^-1S^-1AST=T^-1CT
因为C是对角阵，T是与C形状相同的块对角阵，因此CT=TC
于是T^-1S^-1AST=T^-1CT=T^-1TC=C
记P=ST是可逆阵
便有P^-1AP=C，P^-1BP=D 同时化为了对角阵
分为r块，每块特征值相同,Ii都是单位阵
SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1，右乘S，得
CS^-1BS=S^-1BSC，记G=S^-1BS，那么CG=GC
因为C是对角阵，而G与C可交换，易知
G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵，Gi与Ii同阶
再将Gi进行对角化，即存在可逆阵Ti，
使得Ti^-1*Gi*Ti=Di是对角阵
记T=diag(T1,T2,...,Tr)是块对角可逆阵
于是T^-1GT=diag(D1,D2,...,Dr)=D是对角阵
即T^-1S^-1BST=D
而T^-1S^-1AST=T^-1CT
因为C是对角阵，T是与C形状相同的块对角阵，因此CT=TC
于是T^-1S^-1AST=T^-1CT=T^-1TC=C
记P=ST是可逆阵
便有P^-1AP=C，P^-1BP=D 同时化为了对角阵
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