Question

函数极限的局部保号性：

函数极限的局部保号性：这个定理是说如果f(x)的极限是A,并且A>0,那么就有邻域内f(x)>0 ，还有个推论是如果f(x)的极限是A,当f(x)大于等于0 时,A就是大于等于0的.这里的意思有4个，即前面取大于号，后面大于号或等号；前面取等于号，后面取等于号；还有一个理解不了，那就是f(x)等于0，A有可能大于0？？？？
这种情况不明白。。。

Answer 1

这个不是这样理解，局部保号性是1.若f(x)在x趋近于x0时极限是A，且A大于零，你试着想想一段连续函数，它的“顶点”（即极限那个点）在X轴以上，那么f(x)必要经过“一段路程”才能到达X轴下方，这段路程就是“局部保号”的最大范围。
另一个局部保号性的推论是说，如果函数f(x)是大于等于0的，那么当x趋近于x0时的极限设为A，因为A一定是f(x)的一个函数值，那么A也必然大于等于0。
而不能拆开来看，以为有4层意思。

Answer 2

设函数为 f(x),若其在x0处有极限，且有f(x0)>0,
那么根据定义，对任意的ε>0,存在δ>0, 满足 |f(x)-f(x0)|<ε,
即有 f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε.
当取 ε=f(x0)，则上式变为 0=f(x0)-f(x0)<f(x),在（x0-δ,x0+δ）上成立。
即找到一个区间上，f(x)大于零。
我们称此为局部保号性(号为函数值的正负号)：即若其在x0处有极限，有f(x0)>0，则可找到一个区间上恒有f(x)>0；f(x0)0肯定不能说明对所有的x f(x)>0.

Answer 3

首先你对大于等于号或者小于等于号不理解，大于等于其实就是不小于，小于等于就是不大于，而不能把它分开来考虑情况理解，估计能解决你的疑惑了

Answer 4

你说f﹙x﹚恒等于0？那A只能等于0
这样说吧，只要在x0的邻域内有f﹙xk﹚＝0 由于ε的任意性 A只能等于0

Answer 5

你说的我没看太明白