Question

请问下面一道题的电场应该怎么求？

书上这道题求解电场时是将电势对变量a求负导数，我们老师觉得有点不对觉得是对x求导，咨询过很多说法各异，有的说a是一个确定点的距离应对x求导，有的说a是可变任一点的距离是对a求导。如果是直接按场强定义来求，这里是长直导线距导线为0处在其延长线的地方……请问到底应该怎么看？

Answer 1

这种解法没有问题。
更正一点，这里的计算是求积分，而不是求导。
这个解法的大体思路是这样，取细杆上一小段长度为dx的单元，可以把它当成一个点电荷，它在P点的电势公式，可以用点电荷的电势公式来计算。就是你给出的第一项dφ。
杆上所有电荷在P点的电势就是，杆上所有电荷在P点的电势的叠加。也就是第二项对dφ求积分，积分变量是x。
P点是延长线上的一点，P点可以是任意的，所以计算出具体结果后，把a当成变量，就是延长线上任一点的电势。
如果要计算P点的场强，求出φ在P点的梯度就可以了，计算梯度时，变量显然是a。
另外你也可以用上面计算电势的方法，取细杆上一小段长度为dx的单元，可以把它当成一个点电荷，它在P点的电场公式，可以用点电荷的场强公式来计算。于是就可以给出一项dE，再对dE求积分也行。
求出电场后，在P点和无穷远处之间选择一个路径，计算场强对这个路径的线积分。就可以得出P点和无穷远处之间的电势差。由于无穷远处电势规定为0，因此计算出来的结果实际上就是P点的电势。
至于你最后一个问题，我没有看明白。

Answer 2

我觉得求场强时，应该是电势对a求导。原因如下：
1、前面计算以x为变量求出来的是P点的电势，此过程中是以x为变量的，a可以看做是固定的，解出来P点电势后，再求场强，因为场强是电势对位移的偏导数，此时从P到无穷远（沿x正反向）电势到零，于是a就成了变量，这和求场强是两个过程。
2、也可以直接用场强的定义，以x为变量求解P点场强，上边式子中的（L+a-x）加个平方就行了。用这种方法求场强时，x就成了变量，a就是固定值。
3、可用以上两种方法解出来的结果是完全相同的，都是2L/(a^2+2aL)。

追问

谢谢。我不是很理解1中的从P到无穷远（沿x正反向）电势到零，于是a就成了变量这句话……这里是看做正电荷产生的电场是吗？为什么会使a变为变量？解答2中和普通求解距离导线为r处的磁场应该是不一样的吧？延长线上的点的电场也这么算吗？

追答

解法一中，解出P点电势后，x就没用了，我们得到的是带电棒在距离右端为a处电势。然后由电势求场强，是另一个问题，与前面的问题就不是一回事啦。
至于解答二，与普通求场强是一样的。

Answer 3

在争什么？ 定积分的路径问题而已