Question

高中数学立体几何问题

正三棱柱ABC－A1B1C1内接于 半径为1的球内，则当该棱柱体积 最大时，其高为_________．

Answer 1

设棱长为6a，高为h

由图知:CO=R=1

又∵ CO2=2√3a 

∴ (OO2)²=(CO)²－(CO2)² =1－12a²

∴ h=2×OO2=2√(1－12a²)

∴ V=S∆ABC× h

       =9√3a²× 2√(1－12a²)

且1－12a²>0， 即：0<a<√3/6

令√(1－12a²)= t ，即：a²=(1－t²)/12，0<t<1

∴ V=(3√3/2) × t × (1－t²)      0<t<1

法1：导数法

V＇=(3√3/2) × (1－3t²)      0<t<1

∴V在t ∈(0,√3/3)单增；在t ∈(√3/3,1)单减

∴V在t=√3/3时取得最大，

     此时h=2√(1－12a²)=2 t =2√3/3

法2：均值不等式：

V=(3√3/2) × t × (1－t²) 

∴V²=27/4 × t² × (1－t²) ² 

       =27/8 ×2 t² × (1－t²)  × (1－t²) 

       ≤27/8 ×（3)√[2t² + (1－t²) +(1－t²)  ]【（3)√m表示m开3次方】

       =27/8 ×（3)√4

当且仅当2t² =1－t²，即t=√3/3时取得最大，

     此时h=2√(1－12a²)=2 t =2√3/3

Answer 2

设正三棱柱底面的边长为a,则三棱柱底面的顶点到其所在外接圆的距离为√3/3a，设三棱柱的高为h,则有 （√3/3a）^2+（h/2）^2=1 三棱柱的体积为 V=a×（√3/2）a×h =（√3/2）a^2×h 当a=h时，三棱柱的体积最大，此时，h=a=2√21/7 。这个可以通过建立函数，然后求极值。

Answer 3

设正三棱柱底面的边长为a,则三棱柱底面的顶点到其所在外接圆的距离为√3/3a，设三棱柱的高为h,则有 （√3/3a）^2+（h/2）^2=1 三棱柱的体积为 V=a×（√3/2）a×h =（√3/2）a^2×h 当a=h时，三棱柱的体积最大，此时，h=a=2√21/7